大学普通本科 -> 理工类 -> 概率论与数理统计 -> 第二章 随机变量及其分布 -> 2.5 随机变量函数的分布 -> 内容要点 -> 有关直接确定密度函数的一个定理
有关直接确定密度函数的一个定理
定理 设随机变量具有概率密度 又设处处可导且恒有(或恒有), 则是一个连续型随机变量，其概率密度为
其中是的反函数，且
证明：只证的情况. 此时在(-,+)严格单调增加，它的反函数存在，且在严格单调增加，可导，分别记的分布函数为. 现在先来求的分布函数
因为在取值，故当时
当时,
当时,
将关于求导数，即得的概率密度
(1)
对于的情况可以同样地证明，此时有
(2)
合并(1)与(2)两式，定理的结论得证.
若在有限区间[]以外等于零，则只需假设在上恒有(或恒有)，此时
注：从前面例题可见，在求的过程中，关键是设法从中解出，从而得到与等价的的不等式. 而利用本定理，在满足条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.
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知识点提示
1、连续型随机变量的分布函数法
若已知的分布函数或概率密度函数,记则随机变量函数的分布函数为
2、分布函数与概率密度的关系
若随机变量的分布函数是，且其密度函数在点处连续,则 .
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