高等数学（理工类）教学大纲

学 时 数：180   

学 分 数：10

适用专业：理工类本科

课程的性质、目的和任务  

 本课程是高等学校理工科本科非数学专业的一门必修的重要基础理论课，是从事现代科学技术研究不可缺少的重要工具。它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

  通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数（包括傅里叶级数）与常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

   在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。

课程教学的主要内容与基本要求

一、函数、极限与连续

主要内容： 

 函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限； 连续函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理)。

基本要求：

1、深入理解函数的概念，掌握函数的表示法；

2、熟练掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；

3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；

5、理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系；

6、熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用；

7、理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法；

8、理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。

二、导数与微分

主要内容： 

    导数的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数；隐函数及参数方程所确定的函数的导数，相关变化率；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，利用微分进行近似计算。一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用

基本要求：

1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用；

3、了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数；

4、会求分段函数的一阶、二阶导数；

5、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

三、中值定理与导数的应用

主要内容： 

    罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；泰勒中值定理；函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数图形的拐点及其求法；渐近线，函数图形的描绘；函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及简单应用；弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆的概念与曲率半径的计算法。

基本要求：

1、理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理；

2、了解并会用柯西中值定理；

3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；

4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；

5、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；

6、了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。

四、不定积分

主要内容： 

    原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式；不定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数和简单无理函数的不定积分，以及可化为有理函数的积分。

基本要求：

1、理解原函数的概念、理解不定积分的概念；

2、熟练掌握不定积分的基本性质与基本积分公式；

3、熟练掌握计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法；

4、会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分。

五、定积分

主要内容： 

    定积分的概念与定积分的近似计算；定积分的性质，定积分中值定理；积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷限的广义积分，无界函数的广义积分。 

基本要求：

1、理解定积分的概念，理解定积分中值定理；

2、掌握定积分的性质、换元积分法与分部积分法；

3、理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式；

4、了解反常积分的概念并会计算反常积分；

5、了解定积分的近似计算；

6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量。

六、定积分的应用

主要内容： 

   定积分的微元法及其应用：求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、变力沿直线所作的功等。

基本要求：

  理解定积分的微元法，掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量：

a、平面图形的面积；

b、旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体的体积；

c、平面曲线的弧长；

d、功、水压力和引力；

e、函数平均值。

七、空间解析几何与向量代数

主要内容： 

    向量的概念，向量的线性运算；空间直角坐标系，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦；向量的数量积与向量积的概念，两向量垂直和平行的条件，两向量的夹角；

    曲面及其方程，球面及其方程，旋转轴为坐标轴的旋转曲面及其方程，母线平行于坐标轴的柱面及其方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影；空间平面和直线的方程及其求法，平面与平面、平面与直线、直线与直线间几何位置的判定，点到面和点到直线的距离；常用二次曲面的方程及其图形特征。

基本要求：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直与平行的条件；

3、掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式及其运算；

4、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；

5、理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

6、了解空间曲线的参数方程和一般方程；

7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

八、多元函数微分法及其应用

主要内容： 

多元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质；偏导数的概念与计算，高教偏导数；多元函数全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用；多元函数的复合函数微分法，全微分形式不变性；多元函数的隐函数微分法；多元函数微分法在几何上的应用；方向导数的概念与计算，梯度的概念与计算，等高线的概念；多元函数的极值及其求法，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分条件，多元函数条件极值的概念及其求法（拉格朗日乘数法），多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

基本要求：

1、理解多元函数的概念；

2、了解二元函数的极限与连续性的概念；

3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件以及全微分在近似计算中的应用；

4、理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法；

5、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数；

6、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程，了解二元函数的二阶泰勒公式；

7、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

九、重积分

主要内容： 

二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算，二重积分的应用；三重积分的概念与性质，直角坐标系下三重积分的计算，柱面坐标系下三重积分的计算，球面坐标系下三重积分的计算，三重积分的应用。

基本要求：

1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理；

2、掌握二重积分（直角坐标情形、极坐标情形）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标情形、柱面坐标情形、球面坐标情形）；

3、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等）。

十、曲线积分与曲面积分

主要内容： 

第一类曲线积分的概念、性质与计算；第二类曲线积分的概念、性质与计算；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数；第一类曲面积分的概念、性质及计算；第二类曲面积分的概念、性质及计算；高斯公式，斯托克斯公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用。

基本要求：

1、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；

2、掌握两类曲线积分的计算方法；

3、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；

4、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分；

5、了解散度与旋度的概念，并会计算散度与旋度。

十一、无穷级数

主要内容： 

 常数项级数收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，收敛级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数与p—级数；正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛的概念；函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，麦克劳林展开式，幂级数在近似计算中的应用；函数的傅里叶系数与傅里叶级数，狄利克雷充分条件，周期为 的函数的傅里叶级数，正弦级数与余弦级数，一般周期函数的函数傅里叶级数。

基本要求：

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；

2、掌握几何级数与 p- 级数的收敛性；

3、会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法；

4、会用交错级数的莱布尼茨定理；

5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；

7、掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法；

8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；

10、掌握 及 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数；