大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第六章 线性空间与线性变换 -> 6.1 线性空间的定义与性质
内容要点
教学举例
[1]
[2]
  • 例1 次数不超过的多项式的全体，记作, 即

                 ,

    试验证对通常的多项式的加法与数乘运算构成向量空间.

  • 例2 证明次多项式的全体

                

    对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间.

  • 例3 个有序实数组成的数组的全体

                         

    对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法

                                  

    不构成线性空间.

  • 例4 设是由两端都无限的全体数值序列所构成的空间，通常记作如下：

                          .

    如果是中令一元素，是和中的对应项相加得到的新序列，数量乘积是序列. 可以验证在中满足线性空间的运算规律.

    中的元素经常出现在工程学中，如在离散的时间段上信号的测量或采样. 这种信号可以是电子的、机械的、光学的等. 在本章的引言中介绍的航天飞机，它的中央控制系统使用的就是离散信号. 为了使用的方便，称为（离散时间）信号空间. 它的直观意义如下图.

  • 例5 正实数的全体记作，在其中定义加法及数乘运算为

                      .

    验证对上述加法与数乘运算构成线性空间.

习题解答
  • 1. 验证以下集合对于所指定的运算是否构成数域上的线性空间.

    所有阶对称矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法.

    所有阶可逆矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法.

    微分方程的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积.

    微分方程的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积.

    对函数的加法及数与函数的乘积.

  • 2. 验证：与向量不平行的全体三维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间.
  • 3. 判断下列的子集是否构成的子空间.

  •   形如 的向量全体.

  •   形如 的向量全体.

  •   形如 的向量全体.

  •   形如 的向量全体.

  • 4. 设是所有形如的向量所构成的集合，其中是任意的数量. 求向量 使得是由的线性组合的向量所构成的集合，并证明是的子空间.
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求助！线性空间子空间的问题.
 1/774 10-07-30 17:17:39
yanglulu
维线性空间能否直观的表示出来？
 1/775 10-07-30 09:52:51
yeahrun
为什么要研究线性空间与线性变换？
 1/982 10-07-29 14:28:53
vickyclj
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