学习辅导与同步训练

大学普通本科 -> 简明版-经管类 -> 微积分 -> 第二章导数与微分 -> 2.3 导数的应用

内容要点

教学举例

[1]

[2]

例1 圆面积和其直径的关系为，当时，面积关于直径的变化率是多大？
例2 一质点以每秒50米的发射速度垂直射向空中，秒后达到的高度为

(米)，

见下图，假设在此运动过程中重力为唯一作用力，试问：

(1)该质点能达到的最大高度是多少？

(2)该质点离地面120米时的速度是多少？

(3)该质点何时重新落回地面？
例3 某产品在生产8到20件的情况下，生产件的成本与销售件的收入分别为
(元) 与 (元)，
某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一件产品的成本为多少？每天多销售一件产品而获得的收入为多少？
例4 设某种产品的需求函数为，求需求量时的总收入、平均收入和边际收入.
例5 设某产品的需求函数为 ( 是价格，是需求量)，成本函数为

.

试求边际利润函数，并分别求和时的边际利润.

习题解答

[1]

[2]

1. 现给一气球充气，在充气膨胀的过程中，我们均近似认为它为球形形状：
(1)当气球半径为10cm时，其体积以什么样的变化率在膨胀？

(2)试估算当气球半径由10cm膨胀到11cm时气球增长的体积数.
2. 某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式来刻画，其中以米计，以秒计，下面是其两个不同的运动轨迹

试分别计算：

(1)物体在给定时间区间内的平均速度；

(2)求物体在区间端点的速率；

(3)物体在给定的时间区间内运动方向是否发生了变化，若是，在何时发生改变？
3. 现给一水箱放水，阀门打开小时后水箱的深度可近似认为由公式给出.
(1)求在时间处水深下降的快慢程度；

(2)何时水位下降最快？最慢？并求出此时对应的水深下降率；

(3)作出和的图像，并试讨论的大小与的取值的符号和大小的关系.
4. 某型号电视机的生产成本(元)与生产量(台)的关系函数为：

(1)求生产前100台的平均成本.

(2)求当第100台生产出来时的边际成本.

(3)证明(2)中求得的边际成本的合理性.
5. 某型号电视机的月销售收入(元)与月售出台数(台)的函数为：

(1)求销售出第100台电视机时的边际收入.

(2)从边际收入函数得出什么有意义的结论，并解释当时，的极限值表示什么含义？

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