第五章 定积分


第一节 定积分概念

抽象定义定积分，
任意插点区间被分开。
小区间中取一点，
对应函数乘以区间长度值。
各个区间皆如此，
乘积之和取其极限值。
若是极限存在准，
则称此为定积分。
闭区间上若连续，
函数可积成定论。
有限间断并有界，
同样可积得其解。

第二节 定积分的性质 中值定理

上限下限若相等，
积分之值就为零。
变换上限与下限，
再添负号值恒定。
相加乘数容易算，
区间还有可加性。
被积函数若为1，
两限之差就是积分值。
被积函数大于零，
定积分也大于零。
函数小时积分小，
绝对值上看分晓。
最大值和最小值，
积分取值两矩包。
中值定理有公式，
矩形面积等于积分值。

第三节 微积分基本公式

积分上限若变动，
积分取值成函数。
被积函数若连续，
上限函数导其出。
由此可得原函数，
存在定理开新路。
莱布尼茨与牛顿，
基本公式证出途。
区间端点原函数，
相减定积分值出。

第四节 定积分的换元法

定积分也可换元，
比起不定更简洁。
上限下限若变动，
简化计算容易些。

第五节 定积分的分部积分法

分部积分转不停，
注意次序定积分。
换元分部结合用，
递推公式仔细寻。

第六节 定积分的近似计算

近似计算定积分，
先用矩形和梯形。
等分区间偶数个，
抛物线法亦可行。

第七节 广义积分

积分区间可无穷，
被积函数可无界。
若遇两者来出题，
广义积分是其解。
定积分再取极限，
广义积分定义现。


第六章 定积分的应用


第一节 定积分的元素法

定积分用元素法，
从其条件来出发。
变化区间有变量，
部分之和要可加。
函数值乘区间长度值，
部分如此积分就可下。
按其步骤来选取，
要写积分如下述：
先选变量和区间，
再分区间取其微。
自变微分乘函数，
部分量形须如此。
以此作为被积式，
再添区间是定积。

第二节 定积分的应用

定积分的用处找一找，
平面图形面积到。
旋转体来求体积，
截面已知体积晓。
光滑曲线可求长，
从其坐标再协商。
物理学中用定积，
作功水压和引力。
定积分除区间长，
就得函数平均值。


第七章 空间解析几何与向量代数


笛卡儿创坐标系，
函数图形得解析。
点与序数相对应，
代数法解几何题。

第一节 空间直角坐标系

直角坐标空间点，
横纵竖轴相关联。
右手规则定三向，
三个垂面交一点。
两点距离记心肠，
投影方和再开方。
若是原点一端立，
坐标方和再开方。

第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法

具有大小和方向，
这一类量称向量。
相加法则三角形，
还有平行四边形。
数乘向量值如何？
方向不变大小迁。
向量平行由此定，
唯一实数等式上接连。

第三节 向量的坐标

有向线段有投影，
模乘余弦是其值。
三个投影平方后，
相加开方模成式。
方向余弦影比模，
平方之和值为1。

第四节 数量积、向量积、混合积

两向量有数量积，
两模乘上余弦值。
若是求其向量积，
大小方向须同记。
两模乘上正弦值，
方向须从右手系。
坐标表示向量积，
行列式中单位向上依。
向量积式有先后，
乘项交换符更替。
混合积中有次序，
向量积后数量积。
坐标放进行列式，
三组投影按序记。
几何意义是体积，
右手转成是正值。

第五节 曲面及其方程

曲面对应有方程，
方程对应有曲面。
已知曲面建方程，
已知方程建曲面。

第六节 空间曲线及其方程

曲面相交得曲线，
曲线方程由此见。
参数方程有参数，
投影方程须消元。
一般方程消一元，
再联元面投影现。

第七节 平面及其方程

平面向量乘法向，
数量积值必为零。
平面方程点法式，
由此可以写分明。
点法方程再简化，
一般方程现其形。
系数就是法向量，
平面方程认得清。

第八节 空间直线及其方程

平面相交得直线，
直线方程由此现。
方向向量若知晓，
点向方程不难找。
点向方程确定了，
参数方程易推导。
方程组中方程乘数加，
加成面束只有一面少。

第九节 二次曲面

二次曲面求形状，
截痕法来却其障。
交线形状再综合，
曲面全貌就可想。


第八章 多元函数微分法及其应用


多元函数是新局，
要以一元为基础。
对比一元再分析，
多元函数无难题。

第一节 多元函数的基本概念

邻域区域和空间，
多元函数增其元。
平面点集定义域，
二元函数以此为根据。
二重极限若存在，
任意方式极限为同数。
在其定意区域内，
多元初等函数皆连续。

第二节 偏导数

固定一元变一元，
二元函数偏导现。
偏导也是求导数，
偏增量相比来取极限。
若知函数求偏导，
将其一元看作常量是技巧。
偏导还可再偏导，
混偏连续次序消。

第三节 全微分及其应用

全微分来作定义，
全增量上找根基。
自变增量有两个，
乘上系数再作和。
再加高阶无穷小，
全增量值如此表。
若是可以如此表，
则称函数可微分。
自增方和再开方，
高阶无穷小值由此准。
自增量乘系数再相加，
就是函数全微分。
若在一点可微分，
两个偏导必皆存。
自变增量乘偏导，
加和就是全微分。
必要条件上已明，
偏导连续条件就充分。
全微分与偏微分，
叠加原理是一论。

第四节 多元复合函数的求导法则

看作常量是关键，
多元复合练一练。
一层一层求偏导，
一条线也不能少。

第五节 隐函数的求导公式

方程中有隐函数，
先化方程单边去。
看作复合求全导，
隐函导数如此找。

第六节 微分法在几何上的应用

空间曲线参数表，
函数必须都可导。
三个函数求导数，
方向向量从此出。
切线方程割线取极限，
还可求出法平面。
曲面方程隐式表，
两类方程也可找。
切线集合切平面，
法向量能由此建。
曲面方程显式表，
化成隐式就明了。
法向量式很简洁，
方向余弦对着写。

第七节 方向导数与梯度

求一方向变化率，
全增量比方向自增量。
何为方向自增量？
自增方和再开方。
方向导数是极限，
定理存在及计算：
函数若是可微分，
任一方向导数存。
余弦正弦乘偏导，
对应相加莫混淆。
方向导数若最大，
梯度方向就由它。

第八节 多元函数的极值及其求法

一点若是极值定，
偏导数必全为零。
一阶偏导若为零，
还须二阶来呼应。
纯偏积大混偏方，
纯偏负时大值当。
纯偏积小无极值，
若是相等再相量。
条件极值有局限，
拉格朗日乘数现。
条件乘上一常数，
再加函数成辅助。
辅助函数求偏导，
条件归零联立就得了。


第九章 重积分


多元复合求全导，
知道步骤不难解。
先从二重学计算，
其它类型照样写。

第一节 二重积分的概年与性质

积分范围线变面，
二重积分来对现。
直角坐标面积元，
划分区域要用横纵平行线。

第二节 二重积分的计算法

（一）

二重积分作计算，
化成两次单积较普遍。
自变量在先在后上下限值不同，
积分限上是关键。

（二）

极坐标中算二重，
比较直角坐标较从容。
面积元素有变更，
乘上极径不相同。
径乘余弦替其横，
径乘正弦换其纵。
替换之后作计算，
化成二次就可从。

（三）

二重积分换元法，
变换公式是桥梁。
偏x、y来除以偏u、v，
再取绝对值于式中放。

第三节 二重积分的应用

二重积分应用面，
曲面面积过一遍。
平面薄片求重心，
再加惯量引质点。

第四节 三重积分的概念及其计算法

二重积分作推广，
三重积分不用想。
平面划分闭区域，
体积元素得依据。
计算公式可因循，
化成三次来积分。

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

三重积分计算法，
柱面球面有其达。
柱面替换在何处？
横标、纵标和体积元素。
球面坐标样子繁，
离竖轴角第一关。
极径乘以其余弦，
纵标由此可代换。
径方乘以其正弦，
正好填充其体元。
横纵坐标径乘其正弦，
再乘离横轴角余正弦。