第一章 函数与极限


数学初等与高等，
按其对象定浅深。
初等研究不变量，
研究变量是高等。
变量相关成函数，
研究采用极限术。
高等数学十数章，
极限方法贯其纲。

第一节 函数

集合是总体，
元素是个体。
列举法和特征法，
集合标记由此达。
自然数集整数集，
有理数集实数集。
数集元素都是数，
不含元素是空集。
另有数集多用途，
这是区间和邻域。
常量与变量，
须从过程来推想。
变量变化相联系，
函数由此得定义。
自变量数集，
因变量数集，
两个数集相对应，
元素按照法则来。
自变量在定义域，
使算式有意义为根据。
值域中是因变量，
单值多值纵线交点出。
函数特性有四类，
有界单调奇偶和周期。
直接函数反函数，
两个变量相对换。
同一坐标平面对称轴，
是过原点画斜线。

第二节 初等函数

幂指对数两三角，
基本初等函数表。
再加常数和四则运算，
有限复合初等函数全。
自然指数为基础，
双曲函数义自出。
三角公式相类似，
两相对比区别记清础。

第三节 数列的极限

要求精确作解答，
计算时须缩小差。
无限接近确定数，
极限概念得萌芽。
数列极限如何定？
不等式子来呼应。
任意给定一正数，
绝对值式须小于。
绝对值中是什么？
一般项减一常数。
还须存在正整数，
序大的一般项皆满足。
收敛数列三性质，
唯一有界子列收。

第四节 函数的极限

数列极限撇开特殊性，
函数极限一般概念定。
趋于有限值或无穷大，
自变量的变化两情形。
若是趋于有限值，
函数极限如下述：
任意给定一正数，
绝对值式须小于。
绝对值中是什么？
函数减去一常数。
邻域半径存在一正数，
去心邻域内的函数皆满足。
局部保号定义证，
去心邻域有同符。
去心邻域函数值符定，
则其极限也同符。
左极限和右极限，
存在相等极限有。
若是趋于无穷大，
极限定义有变化。
任意给定一正数，
绝对值式须小于。
绝对值中是什么？
函数减去一常数。
只须存在一正数，
自变量绝对值大的函数皆满足。
水平渐近线，
函数极限是常数。

第五节 无穷小和无穷大

极限为零无穷小，
常数为零定义晓。
变化过程函数值，
极限加上无穷小。
若是函数等于常数加上无穷小，
则此函数极限就是这个常数了。
再有定义无穷大，
变化过程函数值绝对值总比给定正数大。
铅直渐近线，
无穷大是函数的极限。
大小无穷有关系，
变化过程须同一。
若是函数无穷大，
函数倒数无穷小。
若是函数无穷小，
则其倒数无穷大正好。

第六节 极限运算法则

极限运算有法则，
运算时须正确找。
无穷小，有限个，
其和仍是无穷小。
有界函数遇上无穷小，
乘积也是无穷小。
加减和乘除，
可以合并极限符。
两个函数相比较，
大者极限不会小。
复合函数求极限，
变化过程中间变量代入算。

第七节 极限存在准则 两个重要极限

极限存在有准则，
夹逼准则第一出。
三个数列或函数，
大小必须有次序。
最大最小极限同，
居其中者极限同。
正弦和自变量来相比，
由此可证极限等于1。
存在准则第二出，
单调有界数列极限有。
重要极限第二个,
括号外面自变指。
括号当中有什么？
自变量倒数再加上1。
极限存在却无理，
自然对数得其底。
存在准则第三出，
柯西准则来开路。
任意给定一正数，
绝对值式须小于。
绝对值中是什么？
任意两项差值铺。
两项怎样才任意？
只须大于同一正整数。

第八节 无穷小的比较

两者相比取极限，
无穷小来作比较。
极限若为零，
分子高阶无穷小。
极限若无穷，
分子低阶无穷小。
极限常数且非零，
两者同阶无穷小。
极限若为1，
两者等价无穷小。
再有分母添k次，
添了之后作比较。
极限常数且非零，
分子就是k阶无穷小。
等价无穷小来求充要，
相等只须再加高阶无穷小。
无穷小之比来求极限，
等价无穷小可作代换。

第九节 函数的连续性与间断点

函数连续如何定？
自增因增同趋零。
左右极限均存在，
间断点属第一类。

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数作运算，
和积连续个有限。
连续函数来相比，
分母非零连续必。
直接函数单调且连续，
反函数也单调且连续。
复合函数求极限，
中间变量必须有极限。
中间以外若连续，
复合函数极限出。
三类变量皆连续，
复合函数就连续。
初等函数值何如？
定义域内都连续。

第十一节 闭区间上连续函数的性质

闭区间上若连续，
最值有界皆能取。
零点定理看两端，
两端异号零值有。
介值定理看介值，
介值必有点可出。
闭区间上若连续，
最值有界皆能取。
一致连续必连续，
闭区间上反推也能书。


第二章 导数与微分


微积分中微分学，
导数微分有其诀。
变化快慢问导数，
微小变化微分解。

第一节 导数概念

导数定义须牢记，
用途广泛是根基。
分子因变量增量，
分母自变量增量。
相比然后取极限，
导数定义由此现。
负除是左导，
正除是右导。
两者存在且相等，
充要条件导数存。
几何意义看倾角，
切线方程由此晓。
若知法线及斜率，
法线方程不难找。
可导必定可连续，
联续未必就可导。

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则

和差求导不用教，
乘积求导这样找。
先求一项乘一项，
加上反样就得了。
两项相除再求导，
分子似乘加变减，
还有分母莫忘却，
除项平方写齐全。

第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则

反函数来求导数，
直接求导翻筋斗。
复合函数易求倒，
一层一层算到老。

第四节 初等函数的求导问题 双曲函数与反双曲函数的导数

常数导数值为零，
幂函求导减次再乘次原形。
正弦倒数是余弦，
余弦倒数反正弦。
正切求得正割方，
余切余割方负长。
正割求导带正切，
余割余切负相接。
指数求导添因子，
除非自然指数止。
自然对数求导是倒数，
不自然时分母乘上底对数。
反三角函数，
导数是分数。
分子都为1，
分母如下述：
反正弦求导，
分母是1减去平方再开方。
反余弦求导，
只须再加负号在前方。
反正切求导，
分母是1加平方。
反余切求导，
只须再加负号在前方。
双曲函数求导数，
双弦求出值交互。
双曲正切求导数，
双曲余弦平方作分母。
反双曲正弦求导，
分母是1加方再开方。
反双曲余弦求导，
分母负1加方再开方。
反双曲正切求导，
分母是1减平方。

第五节 高阶导数

求导求导再求导，
高阶导数产生了。
莱布尼茨公式多，
高阶导数乘积过。

第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

隐函方程确定了，
两边求导容易找。
对数求导是技巧，
幂指函数也可了。
分子分母各自有，
参数方程上下求。
相关变化须注意，
分析问题要仔细。

第七节 函数的微分

可微必可导，
可导必可微。
从其导数表达式，
微分公式直接推。
复合函数求微分，
形式不变可因循。

第八节 微分在近似计算中的应用

计算公式太复杂，
微分近似可简化。
测量因其影响在，
还须考虑误差值。
精确值和近似值，
相减再取绝对值。
绝对误差由此见，
相对误差还须再比近似值。


第三章 中值定理与导数的应用


第一节 中值定理

中值定理是基础，
罗尔定理为根据。
端点函数值相等，
导数为零点必存。
拉氏定理两端作比率，
至少有一点导数值来呼应。
函数导数恒为零，
其值必是常数定。
同一区间两函数，
端点函数相减作比较，
柯西定理不同处，
一点分子分母两函数求导。

第二节 洛必达法则

极限若是未定式，
求解多从洛必达。
分子分母趋于零，
同时求导可简化。

第三节 泰勒公式

中值定理泰勒解，
取点求导达到最高阶。
麦克劳林来简化，
近似公式用途大。

第四节 函数单调性的判定法

单调判定看求导，
为正增加为负少。
若是求导值为零，
划分区间皆单调。

第五节 函数的极值及其求法

一点导数若为零，
极值还须再论证。
左右两边再求导，
看其正负极值晓。
左正右负大值当，
左负右正其值小。
若是恒正与恒负，
该点极值没有了。
充分条件此第一，
还有第二来充数。
一阶导数若为零，
二阶导数看正负。
若是为正取极小，
若是为负极大出。

第六节 最大值、最小值问题

最值问题如何解？
端点驻点值先写。
再将各值相比较，
最大最小找得到。

第七节 曲线的凹凸和拐点

曲线凹凸如何定？
只在二阶导数符。
二阶为正图形凹，
二阶为负图形凸。
凹凸既能由此定，
拐点亦可依此寻。
二阶导数若为零，
两侧异号拐点准。

第八节 函数图形的描绘

极值与拐点，
升降与凹凸。
尽皆求出后，
就能绘好图。

第九节 曲率

记住公式弧微分，
1加导方再开根。
曲率本是一极限，
角度来比其弧段。
一阶导数其值小，
曲率看成二阶导。
防负添加绝对值，
曲率本是非负值。
曲率圆中有交互，
半径曲率为倒数。

第十节 方程的近似解

方程要求近似解，
先定范围再改善。
二分法和切线法，
用了可以得答案。


第四章 不定积分


第一节 不定积分的概念与性质

谁的导数是函数？
回答就是原函数。
什么函数存在原函数？
连续函数一定有。
不定积分要记清，
带上常数看谁行。
微分运算有互逆，
积分运算来顶替。
导数反求得积分，
积分公式自己寻。
基本积分有什么？
且听如下道分明：
常数可积幂可积，
负一次方对数定。
分母是一加平方，
不定积分反正切。
若加成减还开方，
反正弦是真的确。
余弦正弦皆可积，
正弦积出负号依。
正割余割若平方，
积成正切负余切。
正割正切乘后积，
得成正割少正切。
余割余切同其理，
只是负号来相依。
自然指数原样积，
若底非e还须除以对数底。
双曲正弦与余弦，
积分只须交互替。

第二节 换元积分法

复合函数求积分，
从其微分来求索。
中间变量一代换，
换元积分用处多。
倒代换来用一用，
分母因子无影踪。
正切积分是对数，
余弦取正外添负。
余切积分对里正，
对前负号变为无。
正割求导正割切，
对数号中加取正。
余割求得余割切，
对数号中减取正。
分母数方加平方，
反正切别忘数除。
若是平方减数方，
积成对数正相符。
分母数方减平方，
开方再积反正弦中用数除。
分母若是平方加减一数方，
再开方时积出是对数。

第三节 分部积分法

求导法则看乘积，
反推就是分部积。
何时考虑分部积？
被积函数幂对反。
分部积分试一试，
恰当选取是关键。
兼用换元与分部，
积分自然能提速。

第四节 几种特殊类型函数的积分

特殊类型求积分，
有理函数拆其型。
三角函数有理式，
变量代换最简不一定。
变量代换是推理，
无理函数亦可积。
恰当选取代换式，
积分路上难成易。