1.线性变换把零元变为零元，否则就不是线性变换.

例如，，若，此式就不能成立，故线性变换把零元变为零元.

2.线性变换可以把非零元变为零元.

例如零变换，即把中每一个向量都变为零向量的变换.

3.一个非零元的所有原象不能构成一个子空间.

例如，设，则对线性变换，其所有使得元素组成的集合为，集合不满足加法基数乘的封闭性.证明如下：

设，则

            ；