学习辅导与同步训练

学辅论坛 > 大学普通本科理工类线性代数第五章二次型 5.1 二次型及其矩阵 >正文

发表于 2010/7/28 15:49:15

楼主

标题：请教一个关于二次型求秩的方法问题

04年数三填空题第四小题，求二次型的秩：

一般的解法是将各平方项展开再合并同类项写出关于的二次型，然后计算该二次型矩阵的秩.

我的问题是：是否可以写成变换

，

然后计算从到变换的矩阵的秩？

从这道题来说，我验证了一下，两种方法都可以得到正确的结果；但是，这种方法是否具有一般性呢？如果具有一般性，那么大家的解题速度将大大提高，而不用再去展开平方项再合并同类项.

期待高手指点！！

广告或者签名替代文字

发表于 2010/7/28 16:21:45

1楼

我觉得不对，用配方或者正交变换以后得到的可以求原来二次型的秩，归根结底用的是相似矩阵有相同秩的思想，你这个要是不可逆，当然不能相似啊，哪来的相同的秩，不知道对不对，呵呵

广告或者签名替代文字

发表于 2010/7/28 16:36:00

2楼

楼主的做法是错误的，你在这种情况下能做对，但是这种方法不是普遍成立的，你做的过程中我没有看见你讨论什么，就直接在括号中变换，你能保证三个括号中的式子的相关性嘛？你没有分析讨论吧，还是老老实实算特征值吧，计算量不是太大，这点计算量比起你算矩阵时特征向量、正交、线性表出的复杂程度差得远呢。。。。

广告或者签名替代文字

发表于 2010/7/28 16:46:33

3楼

非常支持2楼的观点.

楼主的做法得到正确的结果只是偶然，根据二次型二次型秩的定义可知楼主的做法完全没有任何理论依据，由于化出的平方项表达式不是标准型，因此这种做法没有任何意义.

广告或者签名替代文字