用初等变换求矩阵的秩时，可以行变换和列变换混用吗？
就是可以先初等行变换，再初等列变换，这样混合变换后的矩阵还与原矩阵等价吗？还与原矩阵的秩相同吗？

可以，对矩阵进行行变换和列变换就是相当于在左或右乘初等矩阵，初等矩阵的行列式的值不等于零，一个矩阵乘以可逆的矩阵，秩不变 .

你说的同时进行是指既进行行变换又进行列变换吧

行变换和列变换矩阵都是初等矩阵，其秩是满秩，进行变换的时候肯定不会改变被变换矩阵的秩。左乘初等矩阵就是进行行变换，右乘就是进行列变换，和一个满秩矩阵相乘，当然不会改变其本身的秩。