调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事实上调和级数以令人不耐烦地慢向无穷大靠近，我们可以很容易的看到这个事实，因为,而调和级数的第一项是1，也就是说调和级数的和要想达到51那么它需要有2的100次方那个多项才OK。而2的100次方这个项是一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机元科学领域，这属于一个不可解的数。 　　-级数在P>1的时候是收敛的，也就是说对于任意,的次方的倒数这个级数是收敛的,在我们直观上看来,好像调和级数下面的n只要大了一小点,或者说调和级数的每一项只要小一小点点,那么这个级数就是收敛的了,但是事实上并不是这样这个级数的发散的,但是在的时候,是一个人尽皆知的事实,但是它却并不收敛,这个令人困惑的问题恰恰说明了一个问题,数轴上数的稠密性. 　　在分母换成素数的时候又会产生两个令人困惑不解的事实:

　　设所有的素数的倒数和为:

    

　　在我们直观的看来,素数比自然数要少的多,但是很不幸这个级数是发散的.

　　但是在同时所有孪生素数的倒数和:

   

　　这个级数是收敛的,现在这个常数就被称为布隆常数:=1.90216054... 　　另外一个我们取调和级数的一个子数列,例如取,级数仍然是发散的,但是这样却产生了另一个困惑,我们如果取n为所有不含有数字8的自然数,所得的级数是收敛的,这个事实可以这样解释,在无限的范围以内,每个自然数几乎含有所有的10个数字.