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高等数学(理工类)

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微分法在几何上的应用

一.空间曲线的切线与法平面
   (1)设空间曲线的方程
                     ，，
式中的三个函数均可导.
   切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.

   法向量：过点且与切线垂直的平面.

   (2)空间曲线方程为
                   ，
在处，切线方程为
                  ，
法平面方程为
               .
(3) 空间曲线方程为
                      .
切线方程为
                  ，
在点处法平面方程为
           .
二.空间曲面的切平面与法线
   设曲面方程为，在曲面上任取一条通过的曲线：，，，曲线在处的切向量

切平面方程为
                   .
过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.
法线方程为
                     .
三.全微分的几何意义
   函数在的全微分，表示曲面在点处的切平面上的点的竖坐标的增量.
四.曲面的法向量的方向余弦
   设有曲面，、、表示曲面的法向量的方向角，使曲面的法向量与轴的正向所成的角是锐角.
   令，则曲面在点的法向量为，故法向量的方向余弦为         ，，，
其中，.

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