大学普通本科 -> 理工类 -> 概率论与数理统计 -> 第三章 多维随机变量及其分布 -> 复习总结与总习题解答 -> 知识点总结 -> 随机变量的条件分布与独立性
随机变量的条件分布与独立性
一、一般随机变量的条件分布与独立性
1.条件分布的定义
一般地，设是一个随机变量，其分布函数为
若另外有一事件已经发生，并且的发生可能会对事件发生的概率产生影响，则对任一给定的实数，记
并称为在发生的条件下，的条件分布函数.
2.随机变量独立性的定义
设随机变量的联合分布函数为 边缘分布函数为 若对任意实数 有
即. 则称随机变量和相互独立.
定理1 随机变量与相互独立的充要条件是生成的任何事件与生成的任何事件独立，即，对任意实数集，有
.
定理2 如果随机变量与相互独立，则对任意函数均有相互独立.
二、离散型随机变量的条件分布与独立性
定义1 设是二维离散型随机变量，其概率分布为
当 称
为在条件下随机变量的条件概率分布.
定义2 若对的所有可能取值 有
即，则称和相互独立.
二、连续型随机变量的条件分布与独立性
定义1 设二维连续型随机变量的概率密度为 边缘概率密度为 则对一切使的，定义在的条件下的条件密度函数为
类似地，对一切使的，定义在的条件下的条件密度函数为
定义2 若对任意的 有
几乎处处成立，则称相互独立.
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