大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章 无穷级数 -> 12.7 函数项级数的一致收敛性 -> 内容要点 -> 定理6
定理6
关于幂级数和的函数的连续性和逐项可积的结论，由定理2和定理3、定理5立即可得，对逐项可导的结论，我们有
定理6 如果幂级数的收敛半径为，则其和函数在内可导，且有逐项求导公式
， （1）
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.
证 先证级数在内收敛. 在内任取、，使得，记，则
，
由此值判别法知级数收敛，于是
，
故数列有界，必有，使得
.
又，级数收敛，由比较判别法即得级数在内收敛，由定理5，级数在内的任意闭区间上一致连续. 从而幂级数在上适合定理3的条件，故可逐项求导. 再由在内的任意性，即证得（1）右端级数的收敛性.
设幂级数在收敛半径为，将此幂级数在上逐项积分，即得，因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小，所以，于. 即与的收敛半径相同.
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