大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章 无穷级数 -> 12.7 函数项级数的一致收敛性 -> 内容要点 -> 定理4
定理4
定理4 如果级数在区间上收敛于和，它的各项都有连续导数，并且级数在上一致收敛，则级数在上也一致收敛，且可逐项求导，即有
.
证 设，根据题设条件知级数满足定理3的条件，因而可逐项积分，即有
.
故有
，
即
即在满足定理的条件下，求导运算与求和运算可交换顺序.
注：仅有函数级数的一致收敛性并不能保证可以逐项求导.例如，级数
在任何上都是一致收敛的，但逐项求导后所得级数为
，
因其一般项不趋于零，所以对于任意值都是发散的. 所以该级数不可逐项求导.
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