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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章无穷级数 -> 12.7 函数项级数的一致收敛性 -> 内容要点 -> 定理2

定理2

定理2 如果级数的各项的知项在区间上都连续，且级数在区间上一致收敛于，则在上也连续.

证任取定，为上任意点，由

有

，

因为级数一致收敛于，故对任意给定的，必有自然数，使得当时，对任一，都有，从而也有.

由于在上连续，从而有限和在点连续，因而对上述的，存在，当时，总有

于是，对任给定，存在，当，总有

，

即在点处连续. 由在上的任意性知，在上连续.

注：在定理2的条件下，有.

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