大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 11.8 点函数积分的概念 -> 内容要点 -> 点函数积分的分类及其关系
点函数积分的分类及其关系
1. 若，这时，，则
. （1）
这时一元函数在区间上的定积分. 当时，是区间长.
2. 若，且是一平面曲线，这时，，于是
. （2）
当时，是曲线的弧长.（2）式称为第一类平面曲线积分.
3. 若，且是空间曲线，这时，，则
. （3）
当时，是曲线的弧长.（3）式称为第一类空间曲线积分.
2、3的特殊情形是曲线为直线段，而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分，这说明，可用一次定积分计算，因此用了一次积分号.
4. 若，且是平面区域，这时，，则
（4）
(4)式称为二重积分. 当时，是平面区域的面积.
5. 若，且是空间曲面，这时，，则
（5）
(5)式称为第一类曲面积分. 当时，是空间曲面的面积.
由于(5)的特殊情形是平面区域上的二重积分，说明该积分可化为两次定积分的计算，因此用二重积分号.
6. 若为空间立体，这时，，则
（6）
(6)式称为三重积分. 当，则是空间立体的体积.
更进一步，我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有有界闭区域的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念，此处不再赘述.
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