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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章无穷级数 -> 12.2 正项级数的判别法 -> 内容要点 -> 积分判别法

积分判别法

对于给定的正项级数，若可看作由一个在上单调减少函数所产生，即有. 那么，可用下述的积分判别法来判定正项级数的敛散性.
定理对于给定的正项级数，若存在上单调减少的连续函数，使得，则
收敛的充要条件是对应的广义积分收敛；
发散的充要条件是对应的广义积分发散.

证由于结论是结论的逆否命题，故只证结论即可. 如图，可以推出下面两个明显成立的不等式：

                                  ，
充分性：设广义积分收敛. 由于
            ，
因此，部分和数列有界，根据定理知级数收敛.
必要性：只需证若广义积分发散，则必发散. 事实上，因为现在有，故对任意的，积分是的在上的单调增加函数. 故若极限不存在，则必有. 由于
                    ，
故知部分和数列无界，则级数发散.
注：在定理中，若将积分下限和级数的开始项号改成某个正整数，函数改为在上单调减少连续，并且当时成立，则定理的结论仍然正确.

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