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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章无穷级数 -> 12.2 正项级数的判别法 -> 内容要点 -> 比较判别法

比较判别法

定理2 设均为正项级数，且.

（1）若收敛，则收敛；

（2）若发散，则发散.

证设、的部分和分别为、，则有

，

（1）若收敛，则其部分和数列有界，从而的部分和数列有界，故由定理1知收敛.

（2）若发散，则发散. 假如不然，收敛，则由（1）知也收敛，与条件发散相矛盾. 故发散.

注：注意到级数的每一项同乘不为零的常数，以及去掉级数前面有限项不改变级数的收敛性，可知定理的条件可减弱为

（为常数，）.

比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对于给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应和，才能熟练掌所致比较判别法.

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