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高等数学(理工类)

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欧拉方程及其解法

欧拉方程是一类特殊的变系数线性微分方程，通过变量替换可把它化为常系数的线性微分方程，因而容易求出其解.
欧拉方程的标准形式
                    (1)
其中，，，为常数. 其特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同.
作变量替换或，将自变量替换为，则有
                      ，

                ，
同理，有
                   ，，
若记，则上述结果可以写为
                     ，，
              ，
一般地，有
                    .             (2)
将上述变换代入欧拉方程，则将方程(1)化为以为自变量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把换为，即得到原方程的解.

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