大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第九章 多元函数微分学 -> 9.3 全微分及其应用 -> 内容要点 -> 可微的必要条件
可微的必要条件
定理1（必要条件） 如果函数在点处可微分，则该函数在点的偏导数，必存在，且在点处的全微分为
.
证 设函数在点处可微分，则对于点的某个邻域内的任意一点
，
恒有
.
特别当时上式仍成立（此时），从而有
，
上式两端除以，令并取极限，即得
，
即，同理有.
注：一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理1的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.
例如，对二元函数
我们可用定义求出
，
即在点处的两个偏导数存在且相等，而
，
若令点沿着直线趋于，则有
，
它不随着而趋于0，不是关于的高阶无穷小，故函数在点处是不可微的.
本例说明：偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.
事实上，函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.
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