大学普通本科 -> 理工类 -> 线性代数 -> 第五章 二次型 -> 5.2 化二次型为标准形 -> 内容要点 -> 用配方法化二次型为标准形
用配方法化二次型为标准形
例如，用配方法将中的二次型化为标准形.
，
其中 ，.
对一般的二次型，利用拉格朗日配方法可证得下列结论.
定理1 任意二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.
拉格朗日配方法的步骤如下：
1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量重复上述过程直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形；
2.若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按中方法配方.
注意到二次型与对称矩阵的对应关系，由定理可得：
定理 对任一实对称矩阵，存在可逆矩阵，使为对角矩阵. 即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
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知识点提示
1、矩阵的合同
设为两个阶矩阵，如果存在阶非奇异矩阵，使得，则称矩阵合同于矩阵，或与合同.
2、线性变换后的二次型及其矩阵
对于一般二次型，经可逆的线性变换可将其化为
.
其中为关于的二次型，对应的矩阵为.
3、二次型的标准形
若二次型经可逆线性变换化为只含平方项的形式
，
则称之为二次型的标准形.
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