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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第七章微分方程 -> 7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程 -> 内容要点 -> 右端函数为x的一个M次多项式与指数函数、正弦（余弦）函数的乘积

右端函数为x的一个M次多项式与指数函数、正弦（余弦）函数的乘积

                                 (1)
                                (2)
由欧拉公式知道，和分别是

的实部和虚部. 因此先考虑方程
                                   (3)
这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(3)的一个特解，则根据第六节的定理5知道，方程(3)的特解的实部就是方程(1)的特解，而方程(3)的特解的虚部就是方程(2)的特解.
方程(3)的指数函数中的是复数，特征方程是实系数的二次方程，故只有两种可能的情形：或不是特征根，或是特征方程的单根. 即(3)具有特解形式：
                                           (4)
的特解，其中是与同次(次)的多项式，而按不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
注：上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程情形.

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