大学普通本科 -> 理工类 -> 概率论与数理统计 -> 第八章 方差分析与回归分析 -> 8.3 一元线性回归 -> 内容要点 -> 最小二乘估计的性质
最小二乘估计的性质
定理1 若为的最小二乘估计量，则
(1)分别是的无偏估计;
(2) (*)
证 (1)由一元线性回归模型可知，
因为相互独立，从而.
，
所以分别是的无偏估计.
(2)由于都是正态随机变量的线性函数，因此服从正态分布. 下面计算它们的方差，因为
，
且，
故 ，
注：(*)式表明，回归系数的波动大小不仅与误差的方差有关，而且还取决于观察数据中普通变量的波动程度，如果值取的比较分散，则波动较小，即估计比较精确，反之不然. 而回归常数项的方差不仅与误差的方差和波动大小有关，而且还与观察数据的个数有关，故在线性模型下，为使回归精确，实际安排实验时，应尽量安排多的试验和尽量将的值取得分散.
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最小二乘估计既是无偏的，又是均方误差最小的，并且估计还是正态分布的，这些都很好的体现了其优良性。
回答者：zhanghouquan
2010/7/19 9:05:09
知识点提示
1、最小二乘估计的计算
设，，，是取自总体的一组样本，而，，，是该样本的观察值，设回归方程为，则
， ，
其中
，
.
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