矩阵与向量组秩的关系
定理2 设为矩阵，则矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.
证明 设，则由矩阵的秩的定义知，存在的阶子式，从而所在的个列向量线性无关；又中所有阶子式，故中任意个列向量线性相关. 因此，所在的列是的列向量组的一个极大无关组，所以的列向量组的秩等于.
同理可证，的向量组的秩也等于.
推论1 矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等.
根据定理2 证明知，若是矩阵的一个最高非零子式，则所在的列即是列向量组的一个极大无关组，所在的行即是行向量组的一个极大无关组.
注：可由证明：若对矩阵仅施以初等行变换得矩阵，则的列向量组与的列向量组间有相同的线性关系，即行的初等变换保持了列向量间的线性无关性和线性相关性. 它提供了求极大无关组的方法：以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，即可写出所求向量组的极大无关组.
同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列变换来求向量组的极大无关组.
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知识点提示
1、极大线性无关组
设有向量组，若在中能选出个向量，满足
(1)向量组线性无关；
(2)向量组中任意个向量（若有的话）都线性相关.
则称向量组是向量组的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.
2、向量组的秩
向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为
，
规定：全由零向量组成的向量组的秩为零.
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