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3.7 线性方程组的应用 -> 内容要点 -> 投入产出模型——完全消耗系数
投入产出模型——完全消耗系数
直接消耗系数表示部门在生产单位产品时,所需直接消耗产品的数量. 然而,在生产过程中,除了部门间的这种直接联系外,各部门间还具有间接的联系. 例如,汽车制造部门除需直接消耗电力外,还要消耗钢材、橡胶等产品. 而生产钢材、橡胶等产品的部门也需要消耗电力. 对汽车制造部门来说,这类消耗是对电力的一次间接消耗. 而生产钢材、橡胶等产品的部门也通过其它部门间接消耗电力. 对于汽车制造部门而言,这类间接消耗是对电力的更高一级的间接消耗. 依此类推,汽车制造部门对电力的消耗应包括直接消耗和多次的间接消耗.
一般地,部门除直接消耗部门的产品外,还要通过一系列中间环节形成对部门产品的间接消耗. 直接消耗与间接消耗的和,称为完全消耗. 部门生产一个单位的最终产品对部门的完全消耗量称为完全消耗系数,记为,由完全消耗系数构成的矩阵
称为完全消耗系数矩阵.
根据完全消耗的意义,有
(12)
将其写成矩阵形式,即为
或
两边右乘,得到
(13)
由,可进一步得到
(14)
上式右端的第一项是直接消耗系数矩阵,其后的各项可以解释为各次间接消耗的和.
利用矩阵等式(13),可将产品平衡方程组的解表示为
(15)
上式表明:如果已知完全消耗系数矩阵和最终产品向量,就可以直接计算出总产品向量.
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