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向量空间
一、向量空间的概念
定义 设为维向量的集合，若集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，即
(1)若，，则；
(2)若，，则
则称集合为向量空间.
子空间： 设有向量空间和，若向量空间，则称是的子空间.
二、向量空间的基与维数
定义 设是向量空间，若有个向量，且满足
(1)线性无关；
(2)中任一向量都可由线性表示.
则称向量组为向量空间的一个基，数称为向量空间的维数，并称为维向量空间.
注：1.只含零向量的向量空间称为维向量空间，它没有基；
2.若把向量空间看作向量组，则的基就是向量组的极大无关组，的维数就是向量组的秩；
3.若向量组是向量空间的一个基，则可表示为
，
此时，又称为由基所生成的向量空间.
三、中坐标变换公式
1.基变换公式
在中取定一个基，再取一个新基，设 ，.则基变换公式为
，
其中系数矩阵称为从旧基到新基的过渡矩阵.
2.坐标变换公式
如果在向量空间中取定一个基，那么中任一向量可唯一地表示为
，
有序数组称为向量在基中的坐标.
设向量在旧基和新基中的坐标分别为和，则坐标变换公式为
.
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