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线性代数(简明版-经管类)

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大学普通本科 -> 简明版-经管类 -> 线性代数 -> 第二章矩阵 -> 2.2 矩阵的运算 -> 内容要点 -> 线性变换的概念

线性变换的概念

变量与变量之间的关系式：

称为从变量到变量之的线性变换，其中( 为常数，线性变换(1)的系数构成矩阵称为线性变换(1)的系数矩阵.

设，，，则变换关系式(1)可表示为下列矩阵形式：

易见线性变换与其系数矩阵之间存在一一对应的关系，因而可利用矩阵来研究线性变换，亦可利用线性变换来研究矩阵. 易知，当一线性变换的系数矩阵为单位矩阵时，线性变换称为恒等变换，因为.

以矩阵运算的角度来看，线性变换式(2)实际上建立了一种从矩阵到矩阵的矩阵变换关系:

.
^*注：如果将通常的函数概念加以推广，我们也可以把从到的对应关系看作是从一个向量集合到另一个向量集合的变换(或映射)：，此时，常把称为源，称为像. 有关线性变换内容我们将在后面作进一步的讨论.

例如，一个公司生产两种产品和. 生产价值元的产品需花费原材料元，劳动力元，管理费元. 生产价值元的产品需花费原材料元，劳动力元，管理元. 构造“单位成本”矩阵，其列向量表示产品的“一元产出成本”.

设是“产量”向量，代表元的产品和元的产品，此外定义变换如下：

，

线性变换把一列产量(单位：元)转换成一列总成本.

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