大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第十二章 无穷级数 -> 12.2 正项级数的判别法 -> 内容要点 -> 根值判别法
根值判别法
定理4 设是正项级数，且（或），则
（1）当时，级数收敛；
（2）当（包括）时，级数发散；
（3）当时，本判别法失效.
证 当有限时，对任意的，存在，当时，有
，即.
（1）当时，取，使，则当时， 有
，即.
因为级数收敛，所以由比较判别法知，级数收敛.
（2）当（或）时，取，使，则当时，有，即当时，级数人一般项不趋于零，根据级数收敛的必要条件知发散.
（3）当时，本判别法失效.
注：根值判别法适合中含有表达式的次幂，且存在或等于的情形.
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