大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第十二章 无穷级数 -> 12.2 正项级数的判别法 -> 内容要点 -> 比值判别法
比值判别法
定理3 设是正项级数，且（或），则
（1）当时，级数收敛；
（2）当（包括）时，级数发散；
（3）当时，本判别法失效.
证 当为有限数时，，，当时，有
，
即
（1）当时，取，使，则有
，
而级数收敛，由比较判别法知收敛，再由定理2及其附注知，级数收敛.
（2）当时，取，使，则当时，有，即，即当时，级数的一般项逐渐增大，从而. 根据级数收敛的必要条件知发散.
（3）当时，比值判别法失效.
注：比值判别法适合于与有公因式的情形.
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