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高等数学(简明版-理工类)

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比较判别法的极限的形式

定理2 设与均为正项级数，且.

（1）当时，这两个级数有相同的敛散性；

（2）当时，若收敛，则收敛；

（3）当时，若发散，则发散.

证（1）由，对于，存在正数，当时，有，即，从而. 所以，由比较判别法知与有相同的敛散性.

（2）当时，取，则存在正数，当时，有，即，由比较判别法即可得证.

（3）当时，取，则存在正数，当时，有，即，由此较判别即可得证.

注：在情形（1）中，当时，可表述为：若与是时的等价无穷小，则级数与有相同的敛散性.

如果将所给级数与-级数作比较，即可得到

推论1 设为正项级数.

（1）若或，则级数发散；

（2）若，而存在，则级数收敛.

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