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高等数学(简明版-理工类)

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大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第十二章无穷级数 -> 12.1 常数项级数的概念和性质 -> 内容要点 -> 收敛级数的基本性质

收敛级数的基本性质

性质1 如果级数、分别收敛于和、，则对任意常数、，级数收敛，且

性质2 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.

性质3 在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和.

注：性质3成立的前提是级数收敛，否则结论不成立. 如级数

是发散的，但加括号后所得到的级数是收敛的.

推论1 如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.

性质4 若级数收敛，则.

证明设，其部分和为，则由，得

注：性质4表明：级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件. 其逆否命题为：若级数的一般项不趋于零，则级数发散性，例如，级数

因其一般项，当时不趋于零，因些，该级数是发散的.

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