大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 11.4 第一类曲面积分 -> 内容要点 -> 第一类曲面积分的计算
第一类曲面积分的计算
设光滑曲面的方程为，它在面上的投影区域为，设所求总量为
，
则 .
在曲面上任取微元(其面积也记为)，将其向面投影得小投影区域(其面积记为)，在上任取一点，对应地在微元内有一点，过点作曲面的切平面，以小区域的边界为准线的柱面，在切平面上截下一小片平面(其面积也记为)于是可用近似代替微元的面积.
曲面在点处的法向量，与轴正向的夹角（取为锐角）的余弦为
，
于是，有 或
，（曲面的面积微元）
从而 .
.
这样，就把第一类曲面积分的计算转化为二重积分的计算.
特别地，当时，得到曲面的面积计算公式
.
最后，如果积分曲面由方程或给出，也可类似地把第一类曲面积分化为相应的二重积分.
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