逻辑斯蒂方程是一种在许多领域中有着广泛应用的数学模型，下面我们通过树的生长过程的例子来说明该模型的建立过程.

    一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢，渐渐地，小树长高了，而且长得越来越快，几年不见，绿荫底下已经可以乘凉了，但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来. 这一现象具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.

    如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间一段的生长过程. 折中一下，我们假定它的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比.

    设树生长的最大高度为(m)，在(年)时的高度为，则有

                             ，     (1)

其中是比例常数，称此方程为逻辑斯蒂(Logistic)方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.

    下面来求解方程(1). 分离变量得

                       ，

得     或 ，

故所求通解为

                         ，

其中的是正常数.

    函数的图像称为Logistic曲线. 如图所示的是一条典型的Logistic曲线，由于它的形状像，一般也称为曲线. 可以看到，它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得

                 .

这说明树的生长有一个限制，因此也称为限制性增长模式.

    注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯蒂”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”，因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外，还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染，在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段，可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人少因而传染速度较慢；但随着健康人与患者接触，被传染的人越来越多，传染的速度也越来越快；最后，传染速度自然而然地渐渐降低，因为已经没有多少人可被传染了.