高等数学(简明版-理工类)
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二重积分的概念
二重积分的性质
二重积分的中值定理
积分限的确定
交换二重积分次序的步骤
利用对称性和奇偶性化简积分计算
极坐标下二重积分化为二次积分
平面薄片的重心
平面薄片的转动惯量
平面薄片对质点的引力
三重积分的计算——投影法
三重积分的计算——截面法
利用对称性化简三重积分计算
利用柱面坐标计算三重积分
利用球面坐标计算三重积分
空间立体的重心与转动惯量
空间立体对质点的引力
 
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三重积分(一)

一.三重积分的定义
   设是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成个小闭区域,其中表示第个小闭区域,也表示它的体积,在每个上任取一点,作乘积,并作和
                        .
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数在闭区域上的三重积分,记为
                   .
二.三重积分的计算——投影法
   设一空间立体占有如图闭区域,其密度函数为,则该立体的质量
                         
面投影得区域,这样立体的质量就可视为面密度为
                      
的平面薄片的质量,故有
                     
                        .
三.三重积分的计算——截面法
  设一空间立体占有如图才区域,其密度函数为,则该立体的质量
                      .
轴投影得区间,这样立体的质量就可视为面密度为的细棒的质量,故有
                                .
视具体情况可进一步化为三次积分. 特别地,当仅是的表达式,而的面积又易计算时,可使用这种方法. 例如,设,则有
                .
四.利用对称性化简三重积分计算
  利用对称性化简三重积分的计算时,应注意:
   1. 积分区域关于坐标面的对称性;
   2. 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性. 一般地,对三重积分
                     
若积分区域关于平面对称,且被积函数是关于变量的奇函数,即
                    
时,则

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