一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).

解  取连结地球中心与该物体的直线为轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点(如图).

设地球的半径为，物体的质量为，物体开始下落时与地球中心的距离为，在时刻物体所在位置为，于是速度为. 由万有引力定律得微分方程
                       ，即，
其中为地球的质量，为引力常数.
因为当时，
             (取负号是因此时加速度的方向与轴的方向相反).
                  ，.
代入得到，初始条件为，.
先求物体到达地面时的速度. 由，得
                         ，
代入并分离变量得
                        .
把初始条件代入上式，得，于是
                   .
式中令，就得到物体到达地面时的速度为
                               .
再求物体落到地面所需的时间
                          ，
分离变量得
                          .
两端积分(对右端积分利用置换)，得
                     .
由条件，得.
                      .
在上式中令，便得到物体到达地面所需的时间为
                      .