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高等数学(简明版-理工类)

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大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第七章微分方程 -> 7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程 -> 内容要点 -> 右端函数为x的一个M次多项式与指数函数的乘积

右端函数为x的一个M次多项式与指数函数的乘积

                                         (1)
注意到多项式与指数函数乘积的导数仍是同类型的函数，可推测方程(1)具有如下形式的特解：
                        (为某个多项式)
将上式代入方程(1)中，化简整理得
           (2)
(1)对应特征方程为
                                              (3)
1.若不是特征方程(3)的根，则，可设
             ，
相应的特解形式
                          .
2.若是特征方程(3)的单根，则
                 ，，
可设，相应的特解形式
                         .
3.若是特征方程(3)的重根，则
                  ，，
可设，相应的特解形式
                       .
综上所述，可见方程(1)具有特解形式
                                             (4)
而按是不是特征方程的根、单根或重根依次取0、1或2.
注：上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程情形.

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