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高等数学(简明版-理工类)

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积分上限函数的导数

定理1 若函数在区间上连续，则积分上限的函数

在上可导，且

证明设，且，则有

由函数在点处连续，所以

，

即 .

注：定理1揭示了微分（或导数）与定积分这两个定义不相干的概念之间的内在联系，因而称为微积分基本定理.

如果是正的，定理1就有了一个完美的解释.从到的积分是高度为的线段在区间上扫过的面积.设想公共汽车挡风玻璃上被清除雨滴的刷扫过的区域. 当雨刷移动通过时，被清洗区域的速率正是垂直刷的高度（如图）.

图中的公共汽车上刷片移动时，刷片清洗挡风玻璃的速率是刷片的高度，即

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