大学普通本科 -> 经管类 -> 微积分 -> 第五章 定积分 -> 5.6 定积分的几何应用 -> 内容要点 -> 微元法
微元法
回顾曲边梯形求面积的问题：曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成.
.
面积表示为定积分的步骤：
(1)分割 记第个小曲边梯形的面积为，则，且
；
(2)求和 得面积的近似值 ；
(3)求极限 得面积的精确值 .
略去下标可重新改写为：
(1)分割 把区间分割为个小区间，任取其中一个小区间区间微元，其上小曲边梯形的面积记为，面积微元
，
则所求的面积为 ；
(2)求和 得面积的近似值 ；
(3)求极限 得面积的精确值 .
从面积表为定积分的步骤，可抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量(总量)表示为定积分的方法——微元法(也称为元素法). 其主要步骤如下：
(1)由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元
；
(2)由微元写出积分 根据写出表示总量的定积分
.
应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：
(1)所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而等于所有部分量之和；
(2)使用微元法的关键在于正确给出部分量的近似表达式，即使得
.
微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用.
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