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曲线的拐点及其求法
定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
上图是一条假设的上海证券交易所股票价格综合指数(简称上证指数)曲线. 上证指数是一种能反映具有局部下跌和上涨的股票市场总体增长的股票指数. 投资股票市场的目标无疑是低买(在局部最低处买进)高卖(在局部最高处卖出). 但是，这种对股票时机的把握是难以捉摸的，因为我们不可能准确预测股市的趋势. 当投资人刚意识到股市确实在上涨(或下跌)时，局部最低点(或局部最高点)早已过去了.
拐点为投资者提供了在逆转趋势发生之前预测它的方法，因为拐点标志着函数增长率的根本改变. 在拐点(或接近拐点)的价格购进股票能使投资者呆在较长期的上扬趋势中预警了趋势的改变，降低了因股市的浮动给投资者带来的风险，这种方法使投资者能在长时间的过程中抓住股指上扬的趋势.
拐点的求法：
根据定义知，如果在点的左右两侧邻近处异号，则点就是曲线的一个拐点，如果进一步要求函数在区间内具有二阶连续导数，则在这样的点处必有
；
此外，使函数的二阶导数不存在的点，也可能是使导数符号发生变化的分界点.
综上所述，判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤为：
(1)求函数的二阶导数；
(2)令，解出全部实根，并求出使不存在的点；
(3)对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧二阶导数的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.
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