客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连续不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连续不断发展变化的事物在量的方面反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.
    16—17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如，伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量.
    但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述. 依赖直觉来理解函数的连续性是不够的.
    早在20世纪的20年代，物理学家就已发现，我们直觉上认为是连续运动的光，实际上是由离散的光粒子组成且受热的原子是以离散的频率发射光线的(如图)，因此，光既有波动性又具有粒子性(光的“波粒二象性”)，但它是不连续的. 20世纪以来诸如此类的发现以及由于在计算机科学、统计学和数学建模中大量应用间断函数，连续性的问题就成为在实践中和理论上均有重大意义的问题之一.
    连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式与法则等，往往都要求函数具有连续性.
    本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.