一、二次型有定性的概念
    定义  具有对称矩阵的二次型，
    (1)如果对于任何非零向量，都有(或)成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.
    (2)如果对于任何非零向量，都有(或)成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
    注：二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的. 注意二次型的有定性与其矩阵有定性的对应关系.

二、正定矩阵的判别法

    定理1  设为正定矩阵，若与合同，则也是正定矩阵.

    定理2  对角矩阵正定的充分必要条件是
                      .

    定理3  对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是它的特征值全大于零.

    定理4  为正定矩阵的充分必要条件是的正惯性指数.

    定理5  矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：存在非奇异矩阵，使.

    推论  若为正定矩阵，则.

三、顺序主子式

    定义  阶矩阵的个行标和列标相同的子式

                      ，

称为的阶主子式. 而子式

                   ，

称为的阶顺序主子式.

    定理 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式
                        .

    注：若是负定矩阵，则为正定矩阵，故为负定矩阵的充要条件是：
                      ，
对称矩阵半正定（半负定）的充要条件是：的所有主子式大于（小于）或等于零或的全部特征值大于（小于）或等于零.