一、标准形
    定义  若二次型经可逆线性变换化为只含平方项的形式
                          ，
则称之为二次型的标准形.

    定理  任意二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.

二、配方法

    1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量重复上述过程直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形；

    2.若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换

化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.

    定理  对任一实对称矩阵，存在可逆矩阵，使为对角矩阵. 即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.

三、初等变换法

    对矩阵施以相应于右乘的初等列变换，再对施以左乘的初等行变换，矩阵变为对角矩阵，而单位矩阵就变为所要求的非奇异矩阵.

    定理  任给可逆矩阵，令，若为对称矩阵，则也为对称矩阵，且

.

四、正交变换法

    定理  任给二次型，总有正交变换，使化为标准形

                       ，

其中，是的矩阵的特征值.

    正交变换化法的步骤：

    1.将二次型表示成矩阵形式，求出；

    2.求出的所有特征值；

    3.求出对应于各特征值的线性无关的特征向量；

    4.将特征向量正交化，单位化，得，记
                       ；

    5.作正交变换，则得的标准形
                   .

五、规范形

    定义 二次型通过可逆线性变换可化为，此形式的二次型称为二次型的规范形.规范形中的个数称为二次型的正惯性指数，负项个数称为二次型的负惯性指数，其中是二次型的秩.
    注：任何合同的对称矩阵都具有相同的规范形.

    定理  任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身决定的唯一形式，与所作的可逆线性变换无关.