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线性代数(简明版-理工类)

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大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 线性代数 -> 第四章矩阵的特征值与特征向量 -> 4.3 相似矩阵 -> 内容要点 -> 矩阵与对角矩阵相似的条件

矩阵与对角矩阵相似的条件

定理2 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵有个线性无关的特征向量.

证必要性若与相似，则可逆矩阵使得，设，则由得

，

即

可逆，都是非零向量，故都是的特征向量，且它们线性无关.

充分性设为的个线性无关特征向量，它们所对应的特征值，则有

令，易知可逆，且

，

用左乘上式两端得，即与相似. 证毕.

推论若阶矩阵有个互异的特征值，则与对角矩阵

相似.

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