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线性代数(简明版-理工类)

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向量组的线性相关性

一、线性相关的概念

定义对给定向量组，若存在不全为零的数使

成立，则称向量组线性相关；否则称为线性无关.
注：1.线性无关；

2.向量组只含有一个向量时，线性无关的充要条件是；

3.包含零向量的任何向量组是线性相关的；

4.仅含两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量的分量对应成比例；

5.两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线，三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.

二、线性相关性的判定

定理1 向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
定理2 设有列向量组，则向量组线性相关的充要条件是：矩阵的秩小于向量的个数.

定理3 若向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.

定理4 若向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量可由线性表示且表示法唯一.

定理5 设有两向量组

；，

向量组能由向量组线性表示，若，则向量组线性相关.

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