在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随实际变化的动态系统进行数学建模，此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量，这样就产生了与时间间隔相应的向量序列，其中表示第次测量时系统状态的有关信息，而常被称为初始向量.

    如果存在矩阵，并给定初始向量，使得，即

          (*)

则方程(*)为一个线性差分方程或者递归方程.

    人口迁移模型考虑的问题是人口的迁移或人群的流动. 但是这个模型还可以广泛应用于生态学、经济学和工程学的许多领域. 这里我们考察一个简单的模型，即某城市及其周边农村在若干年内的人口变化的情况. 该模型显然可用于研究我国当前农村的城镇化与城市化过程中农村人口与城市人口的变迁问题.

    设定一个初始的年份，比如说2008年，用分别表示这一年城市和农村的人口. 设为初始人口向量，即，对2009年以及后面的年份，我们用向量

表示出每一年城市和农村的人口.  我们的目标是用数学公式表示出这些向量之间的关系.

    假设每年大约有5%的城市人口迁移到农村（95%仍然留在城市），有12%的农村人口迁移到城市（88%仍然留在农村），如下图所示，忽略其他因素对人口规模的影响，则一年之后，城市与农村人口的分布分别为：

因此，2009年全部人口的分布为

即                                  ，

其中称为迁移矩阵.

    如果人口迁移到百分比保持不变，则可以继续得到2010年，2011年，…的人口分布公式：

，

一般地，有

.

这里，向量序列描述了城市与农村人口在若干年内的分布变化.

    注：如果一个人口迁移模型经验证基本复合实际情况的话，我们就可以利用它进一步预测未来一段时间内人口分布变化的情况，从而为政府决策提供有力的依据. 关于这个问题我们放到第四章的第五节来研究.