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线性代数(简明版-理工类)

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对换

定义在一个排列中，若仅将数码与对调，得到另一个排列，这种变换称为对换. 记为，而将排列中相邻两个元素对调，称为相邻对换.

例如，对排列21354施以对换后得到排列24351.

定理1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变.

证明 (1)设有排列

当时，经过对换后的逆序数增加1，的逆序数不变；

当时，经过对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.

因此对一排列进行相邻对换，将会改变该排列的奇偶性.

(2)设有排列，将与对换需经历次相邻对换即经次相邻对换后排列变成；再经次相邻对换变成排列，所以这两个排列的奇偶性相反.

因此对一排列进行任意对换，将会改变排列的奇偶性. 证毕.

定理2 个数码共有个级排列，其中奇偶排列各占一半.

证明级排列的总数为，设其中奇排列为个，偶排列为个. 若对每一个奇排列都作同一对换，则由定理1，个奇排列均变为偶排列；同理对每一个偶排列都作同一对换，则个偶排列均变为奇排列；从而. 证毕.

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