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概率论与数理统计(简明版-理工类)

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双正态总体的抽样分布

　　定理4 设与是两个相互独立的正态总体，又设是取自总体的样本，与分别为该样本的样本均值与样本方差. 是取自总体的样本，与分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记是与的加权平均，即

，

则

　　(1) ；

　　证由定理1，知

，，

再因两个总体与相互独立，从而它们的样本均值与也相互独立，故

，

则

　　(2) ；

　　证由定理2，知

，.

再因两个总体与相互独立，从而它们的样本方差也相互独立，故由分布的定义，知

　　(3) 当时，

　　证记，当时，由(1)中已证事实, 即知

由定理2，知

，

因为，相互独立，所以

此外，对任意与任意，有

(因与相互独立)

　　这表明，与相互独立，从而作为和的函数与作为和的函数也相互独立.

综上所述，由分布的定义，知

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知识点提示

1、卡方分布的定义

设是取自总体的样本，则称统计量

服从自由度为的分布，记为.

2、t分布的定义

设，且与相互独立，则称

服从自由度为的分布，记为.

3、F-分布的定义

设，，且与相互独立，则称

服从自由度为的分布，记为

4、正态分布的标准化

设则

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