大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 概率论与数理统计 -> 第四章 随机变量的数字特征 -> 4.4 大数定理与中心极限定理 -> 内容要点 -> 切比雪夫不等式
切比雪夫不等式
定理1 设随机变量的期望，方差，则对于任意给定的正数，有
. （切比雪夫不等式）
证 设的概率密度为，则有(如图)
.
注：切比雪夫不等式也可以写成.
切比雪夫不等式表明：随机变量的方差越小，则事件发生的概率越大，即，随机变量集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻画了随机变量取值的离散程度.
在方差已知的情况下，切比雪夫不等式给出了与它的期望的偏差不小于的概率的估计式. 如取，则有
，
故对任给的分布，只要期望和方差存在，则随机变量取值偏离超过3倍均方差的概率小于.
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知识点提示
1、连续型随机变量在一区间的概率
对任意实数有
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