大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 概率论与数理统计 -> 第三章 多维随机变量及其分布 -> 3.2 条件分布与随机变量的独立性 -> 内容要点 -> 随机变量的独立性
随机变量的独立性
设是随机变量所生成的事件： 且 则有
一般地，由于随机变量之间存在相互联系，因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性. 在任何情况下，随机变量之间没有上述影响，而具有所谓的“独立性”，我们引入如下定义.
定义 设随机变量的联合分布函数为 边缘分布函数为 若对任意实数 有
即. 则称随机变量和相互独立.
关于随机变量的独立性，有下列两个定理.
定理1 随机变量与相互独立的充要条件是生成的任何事件与生成的任何事件独立，即，对任意实数集，有
.
证明 略.
定理2 如果随机变量与相互独立，则对任意函数均有相互独立.
证明 令 对任意 记
则由定理1，有
从而由定义知与相互独立. 证毕.
注：上述结果可推广到个随机变量的情形.
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知识点提示
1、条件概率的定义
设、是两个事件，且则称 为在事件发生的条件下，事件的条件概率.
2、分布函数的概念
设是一个随机变量,称
()
为的分布函数,有时记作或
3、联合分布函数的定义
对任意实数称
为二维随机变量的联合分布函数.
为二维随机变量的联合分布函数.
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