大学普通本科 -> 经管类 -> 微积分 -> 第七章 无穷级数 -> 7.1 常数项级数的概念和性质 -> 内容要点 -> 收敛级数的基本性质
收敛级数的基本性质
性质1 如果级数、分别收敛于和、，则对任意常数、，级数收敛，且
.
性质2 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.
性质3 在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和.
注：性质3成立的前提是级数收敛，否则结论不成立. 如级数
是发散的，但加括号后所得到的级数是收敛的.
推论1 如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.
性质4 若级数收敛，则.
证明 设，其部分和为，则由，得
.
注：性质4表明：级数的一般项趋于零是级数收敛的必要条件. 其逆否命题为：若级数的一般项不趋于零，则级数发散性，例如，级数
因其一般项，当时不趋于零，因些，该级数是发散的.
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